数据结构之二叉树

树

树(Tree)是n(n$\geq$0)个节点的有限集,当n=0时称为空树。在任意以可非空树中：

1. 有且只有一个特定的根（Root）节点；

2. 当n$\geq$0的时候，其余节点分为m(m>0)个互不相交的有限集$T_{1}$，$T_{2}$……$T_{m}$，其中每一台集合本身优势一棵树，被称为根的子树。

   

“树”这种数据结构很像我们生活中的“树”，这里面每个元素我们叫作“节 点”；用来连线相邻节点之间的关系，我们叫作“父子关系”

A 节点就是 B 节点的父节点，B 节点是 A 节点的子节点。B、C、D 这三个节点 的父节点是同一个节点，所以它们之间互称为兄弟节点。我们把没有父节点的节点叫作根节点，也就是图中的节点 E。我们把没有子节点的节点叫作叶子节点或者叶节点，比如图中的 G、H、I、 J、K、L 都是叶子节点。

关于“树”，还有三个比较相似的概念：高度（Height）、深 度（Depth）、层（Level）。

节点的高度=节点到叶子节点的最长路径(边数)

节点的深度=根节点到这个节点所经历的边的个数

节点的层数=节点的深度+1

树的高度=根节点的高度

高度计数起点为0，从最底层开始计数。

深度从根开始计算向下计数。

层数计数起点为1，根节点位于第一层。

二叉树

二叉树:每个节点最多有两个“叉”，也就是两个子节点，分别是左子节点和右子节点。二叉树并不要求每个节点都有两个子节点，有的节点只有左子节点，有的节点只有右子节点。当然可以由四叉树，八叉树。

编号 2 的二叉树中，叶子节点全都在最底层，除了叶子节点之外，每个节点都有左右两个子节点，这种二叉树就叫作满二叉树。
编号 3 的二叉树中，叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了最后一 层，其他层的节点个数都要达到最大，这种二叉树叫作完全二叉树。

在满足满二叉树的性质后，最后一层的叶子节点均需在最左边。

实现

想要存储一棵二叉树，我们有两种方法，一种是基于指针或者引用的二叉链式存储法，一种是基于数组的顺序存储法。
每个节点有三个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。我们只要拎住根节点，就可以通过左
右子节点的指针，把整棵树都串起来。

完全二叉树，仅仅“浪费”了一个下标为 0 的存储位置。但是如果是非完全二叉树，会浪费很多的数组存储空间。

遍历

• 前序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印
  它的右子树。
• 中序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它本身，最后打印它
  的右子树。
  后序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打
  印这个节点本身

二叉树的遍历是一个递归的过程。

代码

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
import java.util.Stack;

public class BST<E extends Comparable<E>> {

    private class Node{
        public E e;
        public Node left, right;

        public Node(E e){
            this.e = e;
            left = null;
            right = null;
        }
    }

    private Node root;
    private int size;

    public BST(){
        root = null;
        size = 0;
    }

    public int size(){
        return size;
    }

    public boolean isEmpty(){
        return size == 0;
    }

    // 向二分搜索树中添加新的元素e
    public void add(E e){
        root = add(root, e);
    }

    // 向以node为根的二分搜索树中插入元素e，递归算法
    // 返回插入新节点后二分搜索树的根
    private Node add(Node node, E e){

        if(node == null){
            size ++;
            return new Node(e);
        }

        if(e.compareTo(node.e) < 0)
            node.left = add(node.left, e);
        else if(e.compareTo(node.e) > 0)
            node.right = add(node.right, e);

        return node;
    }

    // 看二分搜索树中是否包含元素e
    public boolean contains(E e){
        return contains(root, e);
    }

    // 看以node为根的二分搜索树中是否包含元素e, 递归算法
    private boolean contains(Node node, E e){

        if(node == null)
            return false;

        if(e.compareTo(node.e) == 0)
            return true;
        else if(e.compareTo(node.e) < 0)
            return contains(node.left, e);
        else // e.compareTo(node.e) > 0
            return contains(node.right, e);
    }

    // 二分搜索树的前序遍历
    public void preOrder(){
        preOrder(root);
    }

    // 前序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
    private void preOrder(Node node){

        if(node == null)
            return;

        System.out.println(node.e);
        preOrder(node.left);
        preOrder(node.right);
    }

    // 二分搜索树的非递归前序遍历
    public void preOrderNR(){

        Stack<Node> stack = new Stack<>();
        stack.push(root);
        while(!stack.isEmpty()){
            Node cur = stack.pop();
            System.out.println(cur.e);

            if(cur.right != null)
                stack.push(cur.right);
            if(cur.left != null)
                stack.push(cur.left);
        }
    }

    // 二分搜索树的中序遍历
    public void inOrder(){
        inOrder(root);
    }

    // 中序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
    private void inOrder(Node node){

        if(node == null)
            return;

        inOrder(node.left);
        System.out.println(node.e);
        inOrder(node.right);
    }

    // 二分搜索树的后序遍历
    public void postOrder(){
        postOrder(root);
    }

    // 后序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
    private void postOrder(Node node){

        if(node == null)
            return;

        postOrder(node.left);
        postOrder(node.right);
        System.out.println(node.e);
    }

    // 二分搜索树的层序遍历
    public void levelOrder(){

        Queue<Node> q = new LinkedList<>();
        q.add(root);
        while(!q.isEmpty()){
            Node cur = q.remove();
            System.out.println(cur.e);

            if(cur.left != null)
                q.add(cur.left);
            if(cur.right != null)
                q.add(cur.right);
        }
    }

    // 寻找二分搜索树的最小元素
    public E minimum(){
        if(size == 0)
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");

        return minimum(root).e;
    }

    // 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
    private Node minimum(Node node){
        if(node.left == null)
            return node;
        return minimum(node.left);
    }

    // 寻找二分搜索树的最大元素
    public E maximum(){
        if(size == 0)
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty");

        return maximum(root).e;
    }

    // 返回以node为根的二分搜索树的最大值所在的节点
    private Node maximum(Node node){
        if(node.right == null)
            return node;

        return maximum(node.right);
    }

    // 从二分搜索树中删除最小值所在节点, 返回最小值
    public E removeMin(){
        E ret = minimum();
        root = removeMin(root);
        return ret;
    }

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node removeMin(Node node){

        if(node.left == null){
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size --;
            return rightNode;
        }

        node.left = removeMin(node.left);
        return node;
    }

    // 从二分搜索树中删除最大值所在节点
    public E removeMax(){
        E ret = maximum();
        root = removeMax(root);
        return ret;
    }

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node removeMax(Node node){

        if(node.right == null){
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            size --;
            return leftNode;
        }

        node.right = removeMax(node.right);
        return node;
    }

    // 从二分搜索树中删除元素为e的节点
    public void remove(E e){
        root = remove(root, e);
    }

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中值为e的节点, 递归算法
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node remove(Node node, E e){

        if( node == null )
            return null;

        if( e.compareTo(node.e) < 0 ){
            node.left = remove(node.left , e);
            return node;
        }
        else if(e.compareTo(node.e) > 0 ){
            node.right = remove(node.right, e);
            return node;
        }
        else{   // e.compareTo(node.e) == 0

            // 待删除节点左子树为空的情况
            if(node.left == null){
                Node rightNode = node.right;
                node.right = null;
                size --;
                return rightNode;
            }

            // 待删除节点右子树为空的情况
            if(node.right == null){
                Node leftNode = node.left;
                node.left = null;
                size --;
                return leftNode;
            }

            // 待删除节点左右子树均不为空的情况

            // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
            // 用这个节点顶替待删除节点的位置
            Node successor = minimum(node.right);
            successor.right = removeMin(node.right);
            successor.left = node.left;

            node.left = node.right = null;

            return successor;
        }
    }

    @Override
    public String toString(){
        StringBuilder res = new StringBuilder();
        generateBSTString(root, 0, res);
        return res.toString();
    }

    // 生成以node为根节点，深度为depth的描述二叉树的字符串
    private void generateBSTString(Node node, int depth, StringBuilder res){

        if(node == null){
            res.append(generateDepthString(depth) + "null\n");
            return;
        }

        res.append(generateDepthString(depth) + node.e +"\n");
        generateBSTString(node.left, depth + 1, res);
        generateBSTString(node.right, depth + 1, res);
    }

    private String generateDepthString(int depth){
        StringBuilder res = new StringBuilder();
        for(int i = 0 ; i < depth ; i ++)
            res.append("-- ");
        return res.toString();
    }
}

public class Order {

    public static void main(String[] args) {

        BST<Integer> bst = new BST<>();
        int[] nums = {5, 3, 6, 8, 4, 2};
        for(int num: nums)
            bst.add(num);

        /////////////////
        //      5      //
        //    /   \    //
        //   3    6    //
        //  / \    \   //
        // 2  4     8  //
        /////////////////
        System.out.println(bst);
        
        
        /* *      深度优先遍历            * */
        //前序遍历
        bst.preOrder();
        System.out.println();
        //中序遍历
        bst.inOrder();
        System.out.println();
        //后序遍历
        bst.postOrder();
        System.out.println();
       /* *      深度优先遍历            * */
         
      /* *      广度优先遍历            * */
        //层序遍历 
        bst.levelOrder();
        System.out.println();
     /* *      广度优先遍历            * */
   
    }
}

遍历

        /////////////////
        //      5      //
        //    /   \    //
        //   3    6    //
        //  / \    \   //
        // 2  4     8  //
        /////////////////

        /* *      深度优先遍历            * */

5
--3
----2
------null
------null
----4
------null
------null
--6
----null
----8
------null
------null
        //前序遍历

5
3
2
4
6
8
        //中序遍历
2
3
4
5
6
8
        //后序遍历

2
4
3
8
6
5
        //层序遍历

5
3
6
2
4
8

删除

import java.util.ArrayList;
import java.util.Random;

public class Remove {

    public static void main(String[] args) {

        BST<Integer> bst = new BST<>();
        Random random = new Random();

        int n = 10;

        // test removeMin
        for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
            bst.add(random.nextInt(10000));
        System.out.println(bst);
        ArrayList<Integer> nums = new ArrayList<>();
        while(!bst.isEmpty())
            nums.add(bst.removeMin());

        System.out.println(nums);
        for(int i = 1 ; i < nums.size() ; i ++)
            if(nums.get(i - 1) > nums.get(i))
                throw new IllegalArgumentException("Error!");
        System.out.println("removeMin test completed.");


        // test removeMax
        for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
            bst.add(random.nextInt(10000));

        nums = new ArrayList<>();
        while(!bst.isEmpty())
            nums.add(bst.removeMax());

        System.out.println(nums);
        for(int i = 1 ; i < nums.size() ; i ++)
            if(nums.get(i - 1) < nums.get(i))
                throw new IllegalArgumentException("Error!");
        System.out.println("removeMax test completed.");
    }
}

5022
--1869
----617
------null
------1370
--------null
--------null
----3497
------null
------null
--5729
----null
----9598
------8387
--------6796
----------null
----------8167
------------null
------------null
--------null
------null

[617, 1370, 1869, 3497, 5022, 5729, 6796, 8167, 8387, 9598]
removeMin test completed.
7926
--5532
----309
------null
------2171
--------null
--------4294
----------null
----------null
----7031
------6053
--------null
--------6737
----------null
----------null
------null
--8619
----null
----8677
------null
------null

[8677, 8619, 7926, 7031, 6737, 6053, 5532, 4294, 2171, 309]
removeMax test completed.